Soalan 1:
Dua biji dadu adil dilambung secara serentak.
Q ialah peristiwa mendapat jumlah mata daripada dua dadu lebih daripada 9.
R ialah peristiwa mendapat hasil darab mata daripada dua dadu ialah gandaan 5.
S ialah peristiwa mendapat dua mata yang sama daripada dua dadu.
Tentu sahkan rumus penambahan kebarangkalian bagi setiap peristiwa bergabung berikut dengan menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin.
(a) P(Q atau R)
(b) P(Q atau S)
(c) P(R atau S)
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} &\text { Ruang sampel (S) }\\ &\begin{aligned} = & \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), \\ & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), \\ & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\ & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \\ & (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \\ & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & Q=\{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\} \\ & R=\{(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)\} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & Q \cup R=\{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6) \\ &(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)\} \end{aligned} $$
$$ Q \cap R=\{(5,5),(5,6),(6,5)\} $$
(a)
$$ \begin{aligned} P(Q \cup R) & =\frac{n(Q \cup R)}{n(S)} \\ & =\frac{14}{36} \\ & =\frac{7}{18} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P(Q)+P(R)-P(Q \cap R) & =\frac{6}{36}+\frac{11}{36}-\frac{3}{36} \\ & =\frac{14}{36} \\ & =\frac{7}{18} \end{aligned} $$
$$ \text { Maka, terbukti } P(\mathrm{Q} \cup \mathrm{R})=P(\mathrm{Q})+P(\mathrm{R})-P(\mathrm{Q} \cap \mathrm{R}) $$
(b)
$$ \begin{aligned} P(Q \cup S) & =\frac{n(Q \cup S)}{n(S)} \\ & =\frac{10}{36} \\ & =\frac{5}{18} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P(Q)+P(S)-P(Q \cap S) & =\frac{6}{36}+\frac{6}{36}-\frac{2}{36} \\ & =\frac{10}{36} \\ & =\frac{5}{18} \end{aligned} $$
$$ \text { Maka, terbukti } P(Q \cup S)=P(Q)+P(S)-P(Q \cap S) $$
(c)
$$ \begin{aligned} P(R \cup S) & =\frac{n(R \cup S)}{n(S)} \\ & =\frac{16}{36} \\ & =\frac{4}{9} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P(R)+P(S)-P(R \cap S) & =\frac{11}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36} \\ & =\frac{16}{36} \\ & =\frac{4}{9} \end{aligned} $$
$$ \text { Maka, terbukti } P(R \cup S)=P(R)+P(S)-P(R \cap S) $$
Dua biji dadu adil dilambung secara serentak.
Q ialah peristiwa mendapat jumlah mata daripada dua dadu lebih daripada 9.
R ialah peristiwa mendapat hasil darab mata daripada dua dadu ialah gandaan 5.
S ialah peristiwa mendapat dua mata yang sama daripada dua dadu.
Tentu sahkan rumus penambahan kebarangkalian bagi setiap peristiwa bergabung berikut dengan menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin.
(a) P(Q atau R)
(b) P(Q atau S)
(c) P(R atau S)
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} &\text { Ruang sampel (S) }\\ &\begin{aligned} = & \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), \\ & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), \\ & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\ & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \\ & (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \\ & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & Q=\{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\} \\ & R=\{(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)\} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & Q \cup R=\{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6) \\ &(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)\} \end{aligned} $$
$$ Q \cap R=\{(5,5),(5,6),(6,5)\} $$
(a)
$$ \begin{aligned} P(Q \cup R) & =\frac{n(Q \cup R)}{n(S)} \\ & =\frac{14}{36} \\ & =\frac{7}{18} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P(Q)+P(R)-P(Q \cap R) & =\frac{6}{36}+\frac{11}{36}-\frac{3}{36} \\ & =\frac{14}{36} \\ & =\frac{7}{18} \end{aligned} $$
$$ \text { Maka, terbukti } P(\mathrm{Q} \cup \mathrm{R})=P(\mathrm{Q})+P(\mathrm{R})-P(\mathrm{Q} \cap \mathrm{R}) $$
(b)
$$ \begin{aligned} P(Q \cup S) & =\frac{n(Q \cup S)}{n(S)} \\ & =\frac{10}{36} \\ & =\frac{5}{18} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P(Q)+P(S)-P(Q \cap S) & =\frac{6}{36}+\frac{6}{36}-\frac{2}{36} \\ & =\frac{10}{36} \\ & =\frac{5}{18} \end{aligned} $$
$$ \text { Maka, terbukti } P(Q \cup S)=P(Q)+P(S)-P(Q \cap S) $$
(c)
$$ \begin{aligned} P(R \cup S) & =\frac{n(R \cup S)}{n(S)} \\ & =\frac{16}{36} \\ & =\frac{4}{9} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P(R)+P(S)-P(R \cap S) & =\frac{11}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36} \\ & =\frac{16}{36} \\ & =\frac{4}{9} \end{aligned} $$
$$ \text { Maka, terbukti } P(R \cup S)=P(R)+P(S)-P(R \cap S) $$