Soalan Percubaan Matematik SPM 2021 (Kelantan), Kertas 2 – (Soalan 16)

Soalan 16 (15 Markah):
Rajah 6 menunjukkan kedudukan kolam renang, kolam ikan dan rumah Puan Halina serta dua orang anaknya, Hazeq dan Haqq. Kolam renang yang dibina itu adalah berjarak sama di antara ketiga-tiga rumah Puan Halina, Haqq dan Hazeq.

Rajah 6

(a) Berdasarkan Rajah 6 di atas,
(i) cari koordinat kedudukan kolam renang. [2 markah]
(ii) hitung jarak di antara rumah Haqq dan kolam renang tersebut? [2 markah]
(iii) Cari koordinat kedudukan rumah Hazeq. [4 markah]


Penyelesaian:
(a)(i)

$\begin{array}{l}\text{Koordinat kolam renang}\\ \text{= Titik tengah bagi Rumah Haqq dan Rumah Puan Halina}\\ =\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ =\left(\frac{-6+2}{2},\frac{-2+4}{2}\right)\\ =\left(-2,1\right)\end{array}$


(a)(ii)

$\begin{array}{l}\text{Jarak antara Rumah Haqq dan kolam renang}\\ =\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2-{\left(y_1-y_2\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(-6-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-2-1\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}\\ =\sqrt{25}\\ =5\text{ unit}\end{array}$


(a)(iii)

$\begin{array}{l}\text{Jarak antara Rumah Hazeq dan kolam renang}=5\text{ unit}\\ \sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=5\\ 4^2+{\left(y-1\right)}^2=5^2\\ 16+y^2-2y+1=25\\ 16+y^2-2y+1-25=0\\ y^2-2y-8=0\\ \left(y+2\right)\left(y-4\right)=0\\ y=-2\text{ atau }y=4(\text{ditolak)}\\ \\ \text{Maka, koordinat rumah Hazeq}=\left(2,-2\right).\end{array}$

(b):
Berdasarkan Rajah 6, kedudukan kolam ikan adalah terletak di atas garis lurus yang menghubungkan rumah Hazeq dan kolam renang. Cari :

(i) Kecerunan garis lurus yang menghubungkan kolam renang dengan rumah Hazeq. [1 markah]

(ii) Koordinat kedudukan kolam ikan. [3 markah]

(iii) Persamaan garis lurus yang melalui koordinat kedudukan kolam ikan dan selari dengan garis lurus yang menghubungkan kedudukan rumah Puan Halina dengan kedudukan rumah Haqq. [3 markah]


Penyelesaian:
(b)(i)

$\begin{array}{l}\text{Kecerunan garis lurus}\\ =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ =\frac{-2-1}{2-\left(-2\right)}\\ =-\frac{3}{4}\end{array}$


(b)(ii)

$\begin{array}{l}\text{Kecerunan garis lurus yang menghubungkan kolam ikan dengan}\\ \text{kolam renang}=-\frac{3}{4}\\ \frac{1-7}{-2-x}=-\frac{3}{4}\\ -6\left(4\right)=-3\left(-2-x\right)\\ -24=6+3x\\ 3x=-30\\ x=-10\\ \\ \text{Maka, koordinat kedudukan kolam ikan}=\left(-10,7\right).\end{array}$


(b)(iii)

$\begin{array}{l}\text{Kecerunan garis lurus rumah Puan Halina dengan rumah Haqq}\\ =\frac{4-\left(-2\right)}{2-\left(-6\right)}\\ =\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\\ \\ \text{Pintasan garis lurus yang selari dan melalui koordinat }\left(-10,7\right),\\ y_1=m{x}_1+c\\ 7=\frac{3}{4}\left(-10\right)+c\\ 7=\frac{-30}{4}+c\\ c=7+\frac{30}{4}\\ c=\frac{29}{2}\\ \\ \text{Maka, persamaan garis lurus }y=mx+c\text{ ialah }y=\frac{3}{4}x+\frac{29}{2}.\end{array}$