Soalan 12:
Satu kejohanan maraton mempunyai 128 orang peserta. Bilangan peserta lelaki ialah 16 orang kurang daripada 2 kali bilangan peserta perempuan. Hitung bilangan peserta lelaki dan peserta perempuan maraton itu dengan menggunakan kaedah matriks.
Penyelesaian:
Katakan x = bilangan peserta lelaki.
y = bilangan peserta perempuan.
$$ \begin{aligned} x+y & =128 \\ x & =2 y-16 \\ x-2 y & =-16 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{c} 128 \\ -16 \end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\frac{1}{1(-2)-1(1)}\left[\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 128 \\ -16 \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c} (-2)(128)+(-1)(-16) \\ (-1)(128)+(1)(-16) \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{l} -240 \\ -144 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{c} 80 \\ 48 \end{array}\right] \end{aligned} $$
Maka, bilangan peserta lelaki = 80,
dan bilangan peserta perempuan = 48.
Satu kejohanan maraton mempunyai 128 orang peserta. Bilangan peserta lelaki ialah 16 orang kurang daripada 2 kali bilangan peserta perempuan. Hitung bilangan peserta lelaki dan peserta perempuan maraton itu dengan menggunakan kaedah matriks.
Penyelesaian:
Katakan x = bilangan peserta lelaki.
y = bilangan peserta perempuan.
$$ \begin{aligned} x+y & =128 \\ x & =2 y-16 \\ x-2 y & =-16 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{c} 128 \\ -16 \end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\frac{1}{1(-2)-1(1)}\left[\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 128 \\ -16 \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c} (-2)(128)+(-1)(-16) \\ (-1)(128)+(1)(-16) \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{l} -240 \\ -144 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{c} 80 \\ 48 \end{array}\right] \end{aligned} $$
Maka, bilangan peserta lelaki = 80,
dan bilangan peserta perempuan = 48.
Soalan 13:
Diberi persamaan linear serentak px + 4y = 10 dan qx – 2y = 1 tiada penyelesaian.
Ungkapkan p dalam sebutan q.
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} & p x+4 y=10 \\ & q x-2 y=1 \\ & {\left[\begin{array}{cc} p & 4 \\ q & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array}\right]} \end{aligned} $$
Jika persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian, maka matriks songsangan tidak wujud.
$$ \begin{aligned} a d-b c & =0 \\ p(-2)-4 q & =0 \\ -2 p-4 q & =0 \\ -2 p & =4 q \\ p & =-2 q \end{aligned} $$
Diberi persamaan linear serentak px + 4y = 10 dan qx – 2y = 1 tiada penyelesaian.
Ungkapkan p dalam sebutan q.
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} & p x+4 y=10 \\ & q x-2 y=1 \\ & {\left[\begin{array}{cc} p & 4 \\ q & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array}\right]} \end{aligned} $$
Jika persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian, maka matriks songsangan tidak wujud.
$$ \begin{aligned} a d-b c & =0 \\ p(-2)-4 q & =0 \\ -2 p-4 q & =0 \\ -2 p & =4 q \\ p & =-2 q \end{aligned} $$
Soalan 14:
Faris mengambil satu kursus di sebuah kolej. Dia telah mendaftar tiga subjek bagi semester pertama. Markah keseluruhan setiap subjek dikira berdasarkan markah bahagian latihan dan peperiksaan mengikut peratusan setiap bahagian. Jadual 1 menunjukkan markah yang diperoleh Faris bagi setiap bahagian pada semester pertama. Jadual 2 menunjukkan peratusan bahagian dalam pengiraan markah keseluruhan.
(a) Wakilkan maklumat dalam Jadual 1 dan Jadual 2 dengan matriks.
(b) Hitung markah keseluruhan Matematik pada semester pertama dengan menggunakan kaedah matriks.
(c) Tentukan subjek yang terbaik pada semester pertama.
Penyelesaian:
(a)
$$ \text { Jadual } 1=\left[\begin{array}{cc} 80 & 70 \\ 60 & 75 \\ 74 & 84 \end{array}\right] \text { dan Jadual 2 }=\left[\begin{array}{l} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right] $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\text { Markah keseluruhan matematik }\\ &\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{ll} 80 & 70 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right] \\ & =[80(0.6)+70(0.4)] \\ & =[76] \end{aligned} \end{aligned} $$
Maka, markah keseluruhan matematik = 76
(c)
$$ \begin{aligned} &\text { Markah keseluruhan setiap subjek }\\ &\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{ll} 80 & 70 \\ 60 & 75 \\ 74 & 84 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{l} 80(0.6)+70(0.4) \\ 60(0.6)+75(0.4) \\ 74(0.6)+84(0.4) \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{l} 76 \\ 66 \\ 78 \end{array}\right] \end{aligned} \end{aligned} $$
Maka, Sains Komputer adalah subjek yang terbaik.
Faris mengambil satu kursus di sebuah kolej. Dia telah mendaftar tiga subjek bagi semester pertama. Markah keseluruhan setiap subjek dikira berdasarkan markah bahagian latihan dan peperiksaan mengikut peratusan setiap bahagian. Jadual 1 menunjukkan markah yang diperoleh Faris bagi setiap bahagian pada semester pertama. Jadual 2 menunjukkan peratusan bahagian dalam pengiraan markah keseluruhan.
(a) Wakilkan maklumat dalam Jadual 1 dan Jadual 2 dengan matriks.
(b) Hitung markah keseluruhan Matematik pada semester pertama dengan menggunakan kaedah matriks.
(c) Tentukan subjek yang terbaik pada semester pertama.
Penyelesaian:
(a)
$$ \text { Jadual } 1=\left[\begin{array}{cc} 80 & 70 \\ 60 & 75 \\ 74 & 84 \end{array}\right] \text { dan Jadual 2 }=\left[\begin{array}{l} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right] $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\text { Markah keseluruhan matematik }\\ &\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{ll} 80 & 70 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right] \\ & =[80(0.6)+70(0.4)] \\ & =[76] \end{aligned} \end{aligned} $$
Maka, markah keseluruhan matematik = 76
(c)
$$ \begin{aligned} &\text { Markah keseluruhan setiap subjek }\\ &\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{ll} 80 & 70 \\ 60 & 75 \\ 74 & 84 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{l} 80(0.6)+70(0.4) \\ 60(0.6)+75(0.4) \\ 74(0.6)+84(0.4) \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{l} 76 \\ 66 \\ 78 \end{array}\right] \end{aligned} \end{aligned} $$
Maka, Sains Komputer adalah subjek yang terbaik.