2.8 Penyelesaian Persamaan Linear Serentak dengan Kaedah Matriks

2.8 Penyelesaian Persamaan Linear Serentak dengan Kaedah Matriks

1. Dua persamaan linear serentak boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks.

Sebagai contoh, dalam persamaan linear serentak:

ax + by = e

cx + dy = f

boleh ditulis dalam format persamaan matriks seperti berikut:

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} e \\ f \end{array}),

Di mana a, b, c, d, e dan f adalah pemalar manakala x dan y adalah anu.

Contoh 1:

Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks.

y– 6x – 19 = 0

2y + 3x + 22 = 0

Penyelesaian:

– 6x + y = 19

3x + 2y = – 22

Persamaan matriks ialah:

(\begin{matrix} - 6 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 19 \\ - 22 \end{array})

2. Persamaan matriks dalam bentuk

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} e \\ f \end{array})

dapat diselesaikan bagi
anu x dan y seperti berikut.

(a) Katakan

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

dan cari A^-1.

(b) Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan A^-1.

A^{- 1} (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = A^{- 1} (\begin{array}{l} e \\ f \end{array})

\begin{array}{l} (c) A^{- 1} A (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = A^{- 1} (\begin{array}{l} e \\ f \end{array}) \\ I (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = A^{- 1} (\begin{array}{l} e \\ f \end{array}) \\ ↑ \\ A^{- 1} A = I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = A^{- 1} (\begin{array}{l} e \\ f \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) (\begin{array}{l} e \\ f \end{array}) \end{array}

Contoh 2:

Selesaikan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks.

2x = 5 – 3y

7x = 1 – 5y

Penyelesaian:

2x + 3y = 5

7x + 5y = 1

(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}) \leftarrow \begin{array}{l} Tulis  persamaan  serentak \\ dalam  bentuk  matriks . \end{array}

\begin{array}{l} Katakan A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix}) \\ A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) \\ A^{- 1} = \frac{1}{10 - 21} (\begin{matrix} 5 & - 3 \\ - 7 & 2 \end{matrix}) \\ A^{- 1} = \frac{1}{- 11} (\begin{matrix} 5 & - 3 \\ - 7 & 2 \end{matrix}) \end{array}

(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = \frac{1}{- 11} (\begin{matrix} 5 & - 3 \\ - 7 & 2 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}) \leftarrow (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = A^{- 1} (\begin{array}{l} e \\ f \end{array})

\begin{array}{l} (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = \frac{1}{- 11} (\begin{array}{l} 5 \times 5 + (- 3) \times 1 \\ - 7 \times 5 + 2 \times 1 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = \frac{1}{- 11} (\begin{array}{l} 22 \\ - 33 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} - \frac{22}{11} \\ \frac{- 33}{- 11} \end{array}) = (\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}) \\ ∴ x = - 2, y = 3. \end{array}