2.6 Matriks Identiti

2.6 Matriks Identiti

1. Matriks identiti ialah suatu matriks segi empat sama. Ia biasanya diwakili oleh huruf I.

2. Matriks identity berperingkat 2 × 2 dan 3 × 3 adalah

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) dan (\begin{matrix} 1 & 00 \\ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 10 \\ 01 \end{array} \end{matrix}) .

3. Jika I ialah matriks identity n × n dan A ialah matriks yang berperingkat sama, maka
IA = A dan AI = A.

Contoh 1:

Tentukan sama ada setiap matriks yang berikut adalah matriks identity bagi

(\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix}) .

(a) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (b) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 2 \times 1 + 4 \times 0 & - 2 \times 0 + 4 \times 1 \\ 3 \times 1 + 7 \times 0 & 3 \times 0 + 7 \times 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix}) \\ Maka, (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ialah satu matriks identiti . \end{array}

\begin{array}{l} (b) (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 2 \times 0 + 4 \times 1 & - 2 \times 1 + 4 \times 0 \\ 3 \times 0 + 7 \times 1 & 3 \times 1 + 7 \times 0 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 7 & 3 \end{matrix}) \\ \neq (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix}) \\ Maka, (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) bukan satu matriks identiti . \end{array}

Contoh 2:

Cari hasil darab bagi setiap pasangan matriks yang berikut dan tentukan sama ada matriks
yang diberi merupakan matriks identity atau tidak.

\begin{array}{l} (a) (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) dan (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) \\ (b) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 5 & 3 \end{matrix}) dan (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 5 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 3 \times 1 + 2 \times 0 & - 3 \times 0 + 2 \times 1 \\ 5 \times 1 + 7 \times 0 & 5 \times 0 + 7 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 \times - 3 + 0 \times 5 & 1 \times 2 + 0 \times 7 \\ 0 \times - 3 + 1 \times 5 & 0 \times 2 + 1 \times 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) \\ ∴ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ialah matriks identiti bagi (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) . \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 5 & 3 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \times 1 + 0 \times 5 & 0 \times 8 + 0 \times 3 \\ 1 \times 1 + 1 \times 5 & 1 \times 8 + 1 \times 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 6 & 11 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 5 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 \times 0 + 8 \times 1 & 1 \times 0 + 8 \times 1 \\ 5 \times 0 + 3 \times 1 & 5 \times 0 + 3 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 & 8 \\ 3 & 3 \end{matrix}) \\ ∴ (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) BUKAN matriks identiti bagi (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 5 & 3 \end{matrix}) . \end{array}