Soalan 10:
Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf bagi fungsi kuadratik f(x) = a(x – h)(x – k) dengan keadaan h < k. Titik P ialah titik minimum bagi graf fungsi kuadratik tersebut.
(a) Hitung nilai
(i) h,
(ii) k,
(iii) a.
(b) Tentukan persamaan paksi simetri.
(c) Nyatakan koordinat titik P.
Penyelesaian:
(a)(i)(ii)
$$ \text { Punca bagi persamaan } f(x)=a(x-h)(x-k) \text { ialah titik } $$
$$ \text { persilangan antara graf fungsi dengan paksi-x iaitu } 1 \text { atau } 5 \text {. } $$
$$ \begin{aligned} &\text { Pada paksi } x, f(x)=0 \text {, }\\ &\begin{array}{r} a(x-h)(x-k)=0 \\ (x-h)(x-k)=0 \\ x=h \text { atau } x=k \end{array} \end{aligned} $$
Diberi h < k
Maka, (i) h = 1, (ii) k = 5
(a)(iii)
$$ \begin{aligned} &f(x)=a(x-1)(x-5)\\ &\text { Gantikan }(0,15) \text { ke dalam persamaan, }\\ &\begin{aligned} 15 & =a(0-1)(0-5) \\ 15 & =a(-1)(-5) \\ 15 & =5 a \\ a & =\frac{15}{5} \\ a & =3 \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\text { Guna formula titik tengah, }\\ &\begin{aligned} & x=\frac{1+5}{2} \\ & x=3(\text { persamaan paksi simetri) } \end{aligned} \end{aligned} $$
(c)
$$ \begin{aligned} &f(x)=3(x-1)(x-5)\\ &\text { Pada titik P, } x=3\\ &\begin{aligned} f(3) & =3(3-1)(3-5) \\ & =3(2)(-2) \\ & =-12 \\ \therefore P & =(3,-12) \end{aligned} \end{aligned} $$
Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf bagi fungsi kuadratik f(x) = a(x – h)(x – k) dengan keadaan h < k. Titik P ialah titik minimum bagi graf fungsi kuadratik tersebut.
(a) Hitung nilai
(i) h,
(ii) k,
(iii) a.
(b) Tentukan persamaan paksi simetri.
(c) Nyatakan koordinat titik P.
Penyelesaian:
(a)(i)(ii)
$$ \text { Punca bagi persamaan } f(x)=a(x-h)(x-k) \text { ialah titik } $$
$$ \text { persilangan antara graf fungsi dengan paksi-x iaitu } 1 \text { atau } 5 \text {. } $$
$$ \begin{aligned} &\text { Pada paksi } x, f(x)=0 \text {, }\\ &\begin{array}{r} a(x-h)(x-k)=0 \\ (x-h)(x-k)=0 \\ x=h \text { atau } x=k \end{array} \end{aligned} $$
Diberi h < k
Maka, (i) h = 1, (ii) k = 5
(a)(iii)
$$ \begin{aligned} &f(x)=a(x-1)(x-5)\\ &\text { Gantikan }(0,15) \text { ke dalam persamaan, }\\ &\begin{aligned} 15 & =a(0-1)(0-5) \\ 15 & =a(-1)(-5) \\ 15 & =5 a \\ a & =\frac{15}{5} \\ a & =3 \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\text { Guna formula titik tengah, }\\ &\begin{aligned} & x=\frac{1+5}{2} \\ & x=3(\text { persamaan paksi simetri) } \end{aligned} \end{aligned} $$
(c)
$$ \begin{aligned} &f(x)=3(x-1)(x-5)\\ &\text { Pada titik P, } x=3\\ &\begin{aligned} f(3) & =3(3-1)(3-5) \\ & =3(2)(-2) \\ & =-12 \\ \therefore P & =(3,-12) \end{aligned} \end{aligned} $$
Soalan 11:
Panjang bagi suatu segi empat tepat ialah (x + 1) cm dan lebarnya ialah 5 cm kurang daripada panjangnya.
(a) Ungkapkan luas segi empat, L cm2, dalam sebutan x.
(b) Diberi luas segi empat tepat ialah 24 cm2, hitungkan panjang dan lebar segi empat tersebut.
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} \text { Panjang } & =x+1 \\ \text { Lebar } & =x+1-5 \\ & =x-4 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} A & =(x+1)(x-4) \\ & =x^2-4 x+x-4 \\ & =x^2-3 x-4 \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { Diberi } A=24 \\ & 24=x^2-3 x-4 \\ & x^2-3 x-4-24=0 \\ & x^2-3 x-28=0 \\ & (x-7)(x+4)=0 \\ & x=7 \text { atau } x=-4 \end{aligned}\\ &\text { (tiada nilai negatif bagi panjang) } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \text { Maka, } x=7 \\ & \text { Panjang }=7+1=8 \mathrm{~cm} \\ & \text { Lebar }=7-4=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
Panjang bagi suatu segi empat tepat ialah (x + 1) cm dan lebarnya ialah 5 cm kurang daripada panjangnya.
(a) Ungkapkan luas segi empat, L cm2, dalam sebutan x.
(b) Diberi luas segi empat tepat ialah 24 cm2, hitungkan panjang dan lebar segi empat tersebut.
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} \text { Panjang } & =x+1 \\ \text { Lebar } & =x+1-5 \\ & =x-4 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} A & =(x+1)(x-4) \\ & =x^2-4 x+x-4 \\ & =x^2-3 x-4 \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { Diberi } A=24 \\ & 24=x^2-3 x-4 \\ & x^2-3 x-4-24=0 \\ & x^2-3 x-28=0 \\ & (x-7)(x+4)=0 \\ & x=7 \text { atau } x=-4 \end{aligned}\\ &\text { (tiada nilai negatif bagi panjang) } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \text { Maka, } x=7 \\ & \text { Panjang }=7+1=8 \mathrm{~cm} \\ & \text { Lebar }=7-4=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
Soalan 12:
Rajah 1 menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki dengan panjang tapak 4y cm dan tinggi (y + 5) cm. Rajah 2 menunjukkan sebuah segi empat sama dengan panjang sisi y cm.
Diberi luas segi tiga melebihi luas segi empat sama sebanyak 39 cm2. Hitung beza perimeter bagi kedua-dua rajah itu.
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} \text { Luas segi tiga } & =\frac{1}{2}(y+5)(4 y) \\ & =(y+5)(2 y) \\ & =2 y^2+10 y \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Luas segi empat sama } & =y \times y \\ & =y^2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Luas segi tiga – Luas segi empat sama }=39\\ &\begin{aligned} & 2 y^2+10 y-y^2=39 \\ & y^2+10 y-39=0 \\ & (y-3)(y+13)=0 \\ & y=3 \text { atau } y=-13 \text { (tidak diterima) } \\ & \text { Maka, } y=3 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Tinggi segi tiga }=3+5=8 \mathrm{~cm} $$
$$ \text { Tapak segi tiga }=4(3)=12 \mathrm{~cm} $$
$$ \begin{aligned} t^2 & =6^2+8^2 \\ t^2 & =100 \\ t & =\sqrt{ } 100 \\ t & =10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
Maka, beza perimeter bagi segi tiga dan segi empat sama
= (10 + 10 + 12) – 4(3)
= 32 – 12
= 20 cm
Rajah 1 menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki dengan panjang tapak 4y cm dan tinggi (y + 5) cm. Rajah 2 menunjukkan sebuah segi empat sama dengan panjang sisi y cm.
Diberi luas segi tiga melebihi luas segi empat sama sebanyak 39 cm2. Hitung beza perimeter bagi kedua-dua rajah itu.
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} \text { Luas segi tiga } & =\frac{1}{2}(y+5)(4 y) \\ & =(y+5)(2 y) \\ & =2 y^2+10 y \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Luas segi empat sama } & =y \times y \\ & =y^2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Luas segi tiga – Luas segi empat sama }=39\\ &\begin{aligned} & 2 y^2+10 y-y^2=39 \\ & y^2+10 y-39=0 \\ & (y-3)(y+13)=0 \\ & y=3 \text { atau } y=-13 \text { (tidak diterima) } \\ & \text { Maka, } y=3 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Tinggi segi tiga }=3+5=8 \mathrm{~cm} $$
$$ \text { Tapak segi tiga }=4(3)=12 \mathrm{~cm} $$
$$ \begin{aligned} t^2 & =6^2+8^2 \\ t^2 & =100 \\ t & =\sqrt{ } 100 \\ t & =10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
Maka, beza perimeter bagi segi tiga dan segi empat sama
= (10 + 10 + 12) – 4(3)
= 32 – 12
= 20 cm