Soalan 1:
Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau bukan. Jika bukan, berikan justifikasi anda.
Penyelesaian:
Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ialah ungkapan yang kuasa tertinggi pemboleh ubahnya ialah dua.
(a)
x2 – 5
Mempunyai satu pemboleh ubah, x.
Kuasa bagi pemboleh ubah x ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, x2 – 5 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(b)
2x2 + x-2
Kuasa bagi pemboleh ubah x-2 bukan nombor bulat.
Maka, 2x2 + x-2 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(c)
3y2 – 3x + 1
Mempunyai dua pemboleh ubah, x dan y.
Maka, 3y2 – 3x + 1 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(d)
-½ m2
Mempunyai satu pemboleh ubah, m.
Kuasa pemboleh ubah m ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, -½ m2 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(e)
x3 – x
Kuasa tetinggi bagi pemboleh ubah x3 ialah kuasa tiga.
Maka, x3 – x bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(f)
x½ + 2x – 1
Kuasa pemboleh ubah x½ bukan nombor bulat.
Maka, x½ + 2x – 1 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(g)
$$ \frac{1}{x^2}+4 x-1 \Rightarrow \frac{1}{x^2}=x^{-2} $$
Kuasa pemboleh ubah 1/x2 bukan nombor bulat.
Maka, $$ \frac{1}{x^2}+4 x-1 \Rightarrow \frac{1}{x^2}=x^{-2} $$ bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(h)
p2 – ½p + 3
Mempunyai satu pemboleh ubah, p.
Kuasa pemboleh ubah p ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, p2 – ½p + 3 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(i)
n(n – 2) ⇒ n(n – 2) = n2 – 2n
Mempunyai satu pemboleh ubah, n.
Kuasa pemboleh ubah n ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, n(n – 2) ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau bukan. Jika bukan, berikan justifikasi anda.
Penyelesaian:
Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ialah ungkapan yang kuasa tertinggi pemboleh ubahnya ialah dua.
(a)
x2 – 5
Mempunyai satu pemboleh ubah, x.
Kuasa bagi pemboleh ubah x ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, x2 – 5 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(b)
2x2 + x-2
Kuasa bagi pemboleh ubah x-2 bukan nombor bulat.
Maka, 2x2 + x-2 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(c)
3y2 – 3x + 1
Mempunyai dua pemboleh ubah, x dan y.
Maka, 3y2 – 3x + 1 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(d)
-½ m2
Mempunyai satu pemboleh ubah, m.
Kuasa pemboleh ubah m ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, -½ m2 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(e)
x3 – x
Kuasa tetinggi bagi pemboleh ubah x3 ialah kuasa tiga.
Maka, x3 – x bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(f)
x½ + 2x – 1
Kuasa pemboleh ubah x½ bukan nombor bulat.
Maka, x½ + 2x – 1 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(g)
$$ \frac{1}{x^2}+4 x-1 \Rightarrow \frac{1}{x^2}=x^{-2} $$
Kuasa pemboleh ubah 1/x2 bukan nombor bulat.
Maka, $$ \frac{1}{x^2}+4 x-1 \Rightarrow \frac{1}{x^2}=x^{-2} $$ bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(h)
p2 – ½p + 3
Mempunyai satu pemboleh ubah, p.
Kuasa pemboleh ubah p ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, p2 – ½p + 3 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(i)
n(n – 2) ⇒ n(n – 2) = n2 – 2n
Mempunyai satu pemboleh ubah, n.
Kuasa pemboleh ubah n ialah 2 dan juga nombor bulat.
Ya, n(n – 2) ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
Soalan 2:
Tentukan nilai a, b dan c bagi setiap ungkapan kuadratik yang berikut.
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} &2 x^2-5 x+1=2 x^2+(-5) x+1\\ &\text { Bandingkan } 2 x^2+(-5) x+1 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=2, b=-5 \operatorname{dan} c=1 $$
(b)
$$ \begin{aligned} &x^2-2 x=x^2+(-2) x+0\\ &\text { Bandingkan } x^2+(-2) x+0 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=1, b=-2 \text { dan } c=0 $$
(c)
$$ \begin{aligned} &2 y^2+1=2 y^2+(0) y+1\\ &\text { Bandingkan } 2 y^2+(0) y+1 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=2, b=0 \operatorname{dan} c=1 $$
(d)
$$ \begin{aligned} & -\frac{1}{2} p^2+4 p=-\frac{1}{2} p^2+4 p+0 \\ & \text { Bandingkan }-\frac{1}{2} p^2+4 p+0 \text { dengan } a x^2+b x+c \end{aligned} $$
$$ a=-\frac{1}{2}, b=4 \operatorname{dan} c=0 $$
(e)
$$ \begin{aligned} 1-x-2 x^2 & =-2 x^2-x+1 \\ & =-2 x^2+(-1) x+1 \end{aligned} $$
$$ \text { Bandingkan }-2 x^2+(-1) x+1 \text { dengan } a x^2+b x+c . $$
$$ a=-2, b=-1 \operatorname{dan} c=1 $$
(f)
$$ \begin{aligned} &4 x^2=4 x^2+0 x+0\\ &\text { Bandingkan } 4 x^2+0 x+0 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=4, b=0 \text { dan } c=0 $$
(g)
$$ \begin{aligned} &h^2+\frac{3}{2} h-4=h^2+\frac{3}{2} h+(-4)\\ &\text { Bandingkan } h^2+\frac{3}{2} h+(-4) \text { dengan } a x^2+b x+c \end{aligned} $$
$$ a=1, b=\frac{3}{2} \operatorname{dan} c=-4 $$
(h)
$$ \begin{aligned} &\frac{1}{3} k^2-2=\frac{1}{3} k^2+0 k+(-2)\\ &\text { Bandingkan } \frac{1}{3} k^2+0 k+(-2) \text { dengan } a x^2+b x+c \text {. } \end{aligned} $$
$$ a=\frac{1}{3}, b=0 \operatorname{dan} c=-2 $$
(i)
$$ \begin{aligned} 2 r(r-3) & =2 r^2-6 r \\ & =2 r^2+(-6) r+0 \end{aligned} $$
$$ \text { Bandingkan } 2 r^2+(-6) r+0 \text { dengan } a x^2+b x+c \text {. } $$
$$ a=2, b=-6 \operatorname{dan} c=0 $$
Tentukan nilai a, b dan c bagi setiap ungkapan kuadratik yang berikut.
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} &2 x^2-5 x+1=2 x^2+(-5) x+1\\ &\text { Bandingkan } 2 x^2+(-5) x+1 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=2, b=-5 \operatorname{dan} c=1 $$
(b)
$$ \begin{aligned} &x^2-2 x=x^2+(-2) x+0\\ &\text { Bandingkan } x^2+(-2) x+0 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=1, b=-2 \text { dan } c=0 $$
(c)
$$ \begin{aligned} &2 y^2+1=2 y^2+(0) y+1\\ &\text { Bandingkan } 2 y^2+(0) y+1 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=2, b=0 \operatorname{dan} c=1 $$
(d)
$$ \begin{aligned} & -\frac{1}{2} p^2+4 p=-\frac{1}{2} p^2+4 p+0 \\ & \text { Bandingkan }-\frac{1}{2} p^2+4 p+0 \text { dengan } a x^2+b x+c \end{aligned} $$
$$ a=-\frac{1}{2}, b=4 \operatorname{dan} c=0 $$
(e)
$$ \begin{aligned} 1-x-2 x^2 & =-2 x^2-x+1 \\ & =-2 x^2+(-1) x+1 \end{aligned} $$
$$ \text { Bandingkan }-2 x^2+(-1) x+1 \text { dengan } a x^2+b x+c . $$
$$ a=-2, b=-1 \operatorname{dan} c=1 $$
(f)
$$ \begin{aligned} &4 x^2=4 x^2+0 x+0\\ &\text { Bandingkan } 4 x^2+0 x+0 \text { dengan } a x^2+b x+c . \end{aligned} $$
$$ a=4, b=0 \text { dan } c=0 $$
(g)
$$ \begin{aligned} &h^2+\frac{3}{2} h-4=h^2+\frac{3}{2} h+(-4)\\ &\text { Bandingkan } h^2+\frac{3}{2} h+(-4) \text { dengan } a x^2+b x+c \end{aligned} $$
$$ a=1, b=\frac{3}{2} \operatorname{dan} c=-4 $$
(h)
$$ \begin{aligned} &\frac{1}{3} k^2-2=\frac{1}{3} k^2+0 k+(-2)\\ &\text { Bandingkan } \frac{1}{3} k^2+0 k+(-2) \text { dengan } a x^2+b x+c \text {. } \end{aligned} $$
$$ a=\frac{1}{3}, b=0 \operatorname{dan} c=-2 $$
(i)
$$ \begin{aligned} 2 r(r-3) & =2 r^2-6 r \\ & =2 r^2+(-6) r+0 \end{aligned} $$
$$ \text { Bandingkan } 2 r^2+(-6) r+0 \text { dengan } a x^2+b x+c \text {. } $$
$$ a=2, b=-6 \operatorname{dan} c=0 $$