Soalan 12:
(a) $$ \text { Diberi bahawa matriks } H=\left(\begin{array}{cc} 2 & 6 \\ 1 & k \end{array}\right) \text {. } $$
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} &\text { Diberi matriks } H \text { tidak mempunyai matriks songsang, }\\ &\begin{aligned} a d-b c & =0 \\ 2(k)-6(1) & =0 \\ 2 k-6 & =0 \\ 2 k & =6 \\ k & =3 \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(i)
Katakan, x = umur Puan Mariam
y = umur anak Puan Mariam
Diberi jumlah umur Puan Mariam dan umur anaknya ialah 34 tahun.
x + y = 34 ….. (1)
Tiga tahun kemudian, umur Puan Mariam ialah 3x umur anaknya
$$ \begin{aligned} x+3 & =3(y+3) \\ x & =3 y+9-3 \\ x-3 y & =6 \ldots (2)\\ {\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{c} 34 \\ 6 \end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\frac{1}{1(-3)-1(1)}\left[\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 34 \\ 6 \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{4}\left[\begin{array}{l} -3(34)-1(6) \\ -1(34)+1(6) \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} -108 \\ -28 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{c} 27 \\ 7 \end{array}\right] \end{aligned} $$
Umur Puan Mariam ialah 27 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.
(b)(ii)
Umur Puan Mariam Ketika anaknya menamatkan pelajaran
= 27 + (25 – 7)
= 45 tahun
Ya, anak Puan Mariam menamatkan Pelajaran ketika dia berumur 45 tahun (sebelum beliau bersara).
(a) $$ \text { Diberi bahawa matriks } H=\left(\begin{array}{cc} 2 & 6 \\ 1 & k \end{array}\right) \text {. } $$
Cari nilai k, jika matriks songsang bagi H tidak wujud. [2 markah]
(b)(i) Pada tahun ini, jumlah umur Puan Mariam dan umur anaknya ialah 34 tahun. Tiga tahun kemudian, umur Puan Mariam ialah tiga kali ganda umur anaknya. Dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan umur Puan Mariam dan anaknya pada tahun ini.
[5 markah]
(ii) Puan Mariam merancang untuk bersara pada umur 55 tahun dan beliau menjangkakan bahawa anaknya akan menamatkan pelajaran pada usia 25 tahun.
Berdasarkan jawapan anda di 12(b)(i), adakah anaknya menamatkan pelajaran sebelum beliau bersara? Justifikasikan jawapan anda.
[2 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} &\text { Diberi matriks } H \text { tidak mempunyai matriks songsang, }\\ &\begin{aligned} a d-b c & =0 \\ 2(k)-6(1) & =0 \\ 2 k-6 & =0 \\ 2 k & =6 \\ k & =3 \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(i)
Katakan, x = umur Puan Mariam
y = umur anak Puan Mariam
Diberi jumlah umur Puan Mariam dan umur anaknya ialah 34 tahun.
x + y = 34 ….. (1)
Tiga tahun kemudian, umur Puan Mariam ialah 3x umur anaknya
$$ \begin{aligned} x+3 & =3(y+3) \\ x & =3 y+9-3 \\ x-3 y & =6 \ldots (2)\\ {\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{c} 34 \\ 6 \end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] } & =\frac{1}{1(-3)-1(1)}\left[\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 34 \\ 6 \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{4}\left[\begin{array}{l} -3(34)-1(6) \\ -1(34)+1(6) \end{array}\right] \\ & =-\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} -108 \\ -28 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{c} 27 \\ 7 \end{array}\right] \end{aligned} $$
Umur Puan Mariam ialah 27 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.
(b)(ii)
Umur Puan Mariam Ketika anaknya menamatkan pelajaran
= 27 + (25 – 7)
= 45 tahun
Ya, anak Puan Mariam menamatkan Pelajaran ketika dia berumur 45 tahun (sebelum beliau bersara).